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 \centerline{{\bf Evaluation des nombres de Betti  }}
 \centerline{{\bf  des hypersurfaces alg\'ebriques r\'eelles  }}
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 \centerline{ in "Matematitchesii Sbornik"(1951),t.28(70),635 }
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 \centerline{{\bf  O. A. Oleinik ( Moscou)  }}
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 \centerline{{\it Traduit du russe par Olga Koutchmy\footnote*{CNRS
 et Universit\'e P. et M. Curie, Laboratoire d'Analyse Num\'erique,
 75252 Paris Cedex 05}}}
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\par
Soit $F(x_1,...,x_m)$ un polyn\^ ome de degr\'e $n$ par rapport aux variables
$x_1,x_2,...,x_m$ et \`a  coefficients r\'eels. Nous allons supposer que
le syst\`eme d'\'equations
$${\partial F \over \partial x_1}=0,...,{\partial F \over \partial x_m}=0,F=0$$
n'a pas de solutions finies ou infinies r\'eelles.
Par $\Gamma$ nous  d\'esignons  l'ensemble des points $(x_1,x_2,...,x_m,x_{m+1})$
de l'espace de projection r\'eel $P_m$ de dimension $m$  tel que
$$x^n_{m+1} F({x_1 \over x_{m+1}},...,{x_m \over x_{m+1}}) = 0.$$
Par $M$ nous d\'esignons  la fermeture dans $P_m$ de l'ensemble de points
pour lesquels
$$x^n_{m+1} F({x_1 \over x_{m+1}},...,{x_m \over x_{m+1}}) \geq 0 \ \ \hbox{si}\ \ x_{m+1} = 1.$$
\par
Partout dans la suite nous d\'esignons par $\sigma (K)$ la somme de tous les nombres de Betti
du poly\`edre $K$, par $\sigma_1(K)$ la somme de  ces nombres de Betti de dimension paire et
par $\sigma_2(K)$ la somme de  ces nombres de Betti de dimension impaire. Tous les nombres de Betti
sont consid\'er\'es  $modulo\ 2$.
\par
En utilisant les id\'ees de Morse $[1]$ et les r\'esultats de $[2]$ o\`u sont donn\'e les 
estimations des caract\'eristiques d'Euler des ensembles $\Gamma$ et $M$, nous allons obtenir
les estimations pour la somme de tous les nombres de Betti, pour la somme des nombres de Betti
de dimension paire et pour la somme des nombres de Betti de dimension impaire de $\Gamma$ et de $M$.
En particulier, nous allons obtenir l'estimation du nombre de morceaux de la surface alg\'ebrique
r\'eelle dans l'espace tridimensionnel, plus pr\'ecis\'ement :
$$p^0 < {{(n-1)^3} \over 2 } -{n(n-1)(n-2) \over 12} + 2,\ \ \hbox{si}\ \ n \ \ \hbox{est impaire}$$
et
$$p^0 < {{(n-1)^3} \over 2 } -{n(n-1)(n-2) \over 12} +{(n-1)^2 \over 4}+{n-1 \over 4} + 2,
\ \ \hbox{si}\ \ n\ \ \hbox{est paire.}$$
\par
Partout dans la suite
 nous d\'esignons par $S(m,n)$ le nombre de mon\^omes 
du polyn\^ ome
 $$\prod\limits_{i=1}^m {{x_i^{n-1} - 1} \over x_i -1} $$ 
 dont le degr\'e ne d\'epasse pas 
$[{mn-2m-n \over 2}].\ \ ([N]\ \ $ d\'esigne la partie enti\`ere de $ N.)$
\medskip
\par
{\bf Th\'eor\`eme.} 
\medskip
\par
 {\bf 1.} Si $m$ et $n$ sont impaires, alors
$$\sigma (M) \leq {(n-1)^m \over 2} + {(n-1)^{m-1} \over 2} + 2 m,$$
$$\sigma_i (M) \leq {1 \over 2} \lbrace (n-1)^m - S(m,n) + {(n-1)^{m-1} \over 2} + 2 m \rbrace \ (i=1,2).$$
\par
 Si $n$ est impaire et $m$ est paire, alors
$$\sigma (M) \leq {(n-1)^m \over 2} + {(n-1)^{m-1} \over 2} + 2 m,$$
$$\sigma_i (M) \leq {1 \over 2} \lbrace (n-1)^m - S(m,n) + (n-1)^{m-1} -S(m-1,n) + 2 m \rbrace \ (i=1,2).$$
\par
 Si $n$ est paire , alors quel que soit $m$, on a
$$\sigma (M) \leq {1 \over 2} \lbrace {{(n-1)^{m+1} -(n-1)} \over n-2} + {m (m +1) \over 2} \rbrace ,$$
$$\sigma_i (M) \leq {1 \over 2} \lbrace (n-1)^m - S(m,n) + {(n-1)^m -(n-1) \over 2(n-2)} +
 {m^2+m+2 \over 4} \rbrace \ (i=1,2).$$
\par
 {\bf 2.} Si $m$ et $n$ sont impaires, alors
$$\sigma (\Gamma) \leq (n-1)^m + m,$$
$$\sigma _i (\Gamma) \leq (n-1)^m - S(m,n) + {m+1 \over 2} \ \ (i=1,2).$$
\par
Si $n$ est impaire et $m$ est paire, alors
$$\sigma (\Gamma) \leq (n-1)^m + m,$$
$$ \sigma_i (\Gamma) \leq {(n-1)^m \over 2} +{m \over 2} \ \ (i=1,2).$$
\par
Si $n$ est paire et $m$ est impaire, alors
$$\sigma (\Gamma) \leq {(n-1)^{m+1} - (n-1) \over n-2} + {m(m-1) \over 2} +2 m,$$
$$\sigma_i (\Gamma) \leq (n-1)^m - S(m,n) + {(n-1)^m - (n-1) \over 2(n-2)} +m +{m(m-1) \over 4} \ \ (i=1,2).$$
\par
Si $n$ et $m$ sont paires, alors
$$\sigma_1 (\Gamma) = \sigma_2 (\Gamma) = \sigma (\Gamma) \leq
{1 \over 2} \lbrace {(n-1)^{m+1} -(n-1) \over n-2} + {m(m-1) \over 2} + 2 m \rbrace .$$
\medskip
\par
{\bf D\'emonstration.} 
\medskip
\par
Il est montr\'e dans $[2]$ que la topologie des ensembles $M$ et $\Gamma$ ne change pas
 si les coefficients du polyn\^ome $F(x_1,...,x_m)$ changent suffisamment peu. 
C'est pourquoi nous pouvons admettre que le syst\`eme d'\'equations 
$${\partial F \over \partial x_1}=0,...,{\partial F \over \partial x_m}=0,F=0$$
a $(n-1)^m$ solutions $p_\alpha = (\zeta_1^\alpha,...,\zeta_m^\alpha)$ 
finies, r\'eelles ou complexes,  differentes et telles que
tous les $c_\alpha = F(\zeta_1^\alpha,...,\zeta_m^\alpha)$ sont differents les uns des autres $\ [2].$
\par
D\'esignons par $M_c$ la fermeture  dans $P_m$ de l'ensemble de points fini et tel que
$F(x_1,...,x_m) \geq c $ \ si $x_{m+1} = 1.$
 \par
On va diminuer le $c$. Alors les nombres de Betti du complexe $M_c$ changent seulement quand le $c$
passe par les valeurs $c_\alpha$ qui correspondent aux points  $p_\alpha$ r\'eels.
\par
En utilisant les m\^emes raisonnements que dans $[3]$, il est facile de montrer que lors de ce passage
un nombre de Betti de l'ensemble $M_c$ augmente ou diminue de $1.$
Nous d\'esignons par $N^+$ le nombre de points critiques $p_\alpha$ \`a valeurs $c_\alpha$ associ\'ees
pour lesquels un nombre de Betti de l'ensemble $M_c$ augmente  de $1$,
et par $N^-$ le nombre restant de points r\'eels $p_\alpha.$ 
Il est \'evident que  l'on a les relations suivantes:
$$N^+ + N^- \leq (n-1)^m,\eqno(1)$$
$$N^+ - N^- = \sigma (M_{c_2} ) -\sigma (M_{c_1} ); \eqno(2)$$
$c_1$ et $c_2$ sont choisis de tel sorte que pour tous les points r\'eels $p_\alpha$ on ait
$$c_2 < F(\zeta_1^\alpha,...,\zeta_m^\alpha) < c_1.$$
A  partir des relations $(1)$ et $(2)$ on obtient que
$$N^+ \leq {(n-1)^m \over 2}+{\sigma (M_{c_2})-\sigma (M_{c_1}) \over 2}.$$
Il est \'evident que $\sigma (M) \leq N^+ + \sigma (M_{c_1})$ et que, par cons\'equent,
$$\sigma (M) \leq {(n-1)^m \over 2} + {\sigma (M_{c_1}) + \sigma (M_{c_1}) \over 2}.\eqno(3)$$
\par
 Nous allons maintenant \'evaluer $\sigma (M_{c_1})$ et $\sigma (M_{c_2}).$
\par
Soit $n$ paire. Dans ce cas $M_{c_1}$ a les m\^emes nombres de Betti que l'intersection de $M_{c_1}$
avec le plan $x_{m+1} = 0$ ( que nous d\'esignons par $Q$ ) car $M_{c_1}$ peut \^etre
d\'eform\'e contin\^ument dans $Q.$
\par
Pour \'evaluer $\sigma ( M_{c_2})$ nous allons utiliser la loi de dualit\'e de L. S. Pontrjagine :
\par
si $K$ est un complexe dans $P_m$, alors
$$p^{m-r-1} ( P_m - K ) = q^r ( K ) + p^{m-r-1} ( P_m ) - \lbrack p^{r+1} ( K ) - q^{r+1} ( K ) \rbrack ,$$
o\`u $p^r ( K )$ d\'esigne le nombre de Betti de dimension $r$ du complexe $K$ et $q^r ( K )$ 
le nombre d'\'el\'ements de la z\'ero-base du complexe $K\ \ \lbrack 4\rbrack .\ $ Puisque $q^r ( K ) \leq p^r ( K )$,
on d\'eduit de la loi de dualit\'e de L. S. Pontrjagine que
$$p^{m-r-1} (P_m - K ) \leq p^r ( K ) + 1$$ 
et
$$\sigma ( P_m - K ) \leq  \sigma ( K ) + m.\eqno(4)$$
\par
Puisque le compl\'ement de $M_{c_1}$ dans $P_m$ a les m\^emes nombres de Betti que 
le compl\'ement 

de $Q$ dans l'hyperplan situ\'e \`a l'infini et en utilisant
l'in\'egalit\'e $(4)$, on obtient
$$\sigma ( M_{c_2} ) \leq \sigma ( P_m - M_{c_2} ) + m = \sigma ( P_{m-1} - Q ) + m$$
( $P_{m-1}$ d\'esigne  l'hyperplan situ\'e \`a l'infini ).
\par
On obtient donc
$$\sigma ( M ) \leq {(n-1)^m \over 2} + {\sigma ( Q ) + \sigma ( P_{m-1} - Q ) + m \over 2}.\eqno(5)$$
\par
Pour les ensembles $Q$ et $P_{m-1} - Q$ on peut obtenir des estimations analogues  \`a $(5)$,
en consid\'erant le polyn\^ome $F( x_1,...,x_m)$ d\'efini sur l'hyperplan situ\'e \`a l'infini.
L'in\'egalit\'e $(5)$ donne l'estimation de $\sigma ( M )$ dans $P_m$ \`a l'aide de $\sigma ( M )$
pour un polyn\^ome de degr\'e $n$ dans l'espace $P_{m-1}.$ Par cons\'equent, gr\^ace \`a l'in\'egalit\'e
$(5)$ on obtient
$$\sigma _1(M)+\sigma_2(M) = \sigma(M) \leq \sum_{i=1}^m {(n-1)^i \over 2}+{i \over 2} =
{1 \over 2} \lbrace {(n-1)^{m+1} -(n-1) \over n-2} +{m(m+1) \over 2} \rbrace.\eqno(6)$$
\par
Pour obtenir les estimations pour $\sigma_1 (M)$ et $\sigma_2 (M)$, nous allons utiliser
 les estimations pour leur diff\'erence donn\'ees dans $[2]$ selon lesquelles  pour $n$ paire, on a
$$ \vert \sigma_1(M) - \sigma_2(M)\vert \leq {(n-1)^m \over 2}-S(m,n)+{1 \over 2}.\eqno(7)$$
\par
Gr\^ace aux in\'egalit\'es $(6)$ et $(7)$ nous avons :
$$\sigma_i(M) \leq {1 \over 2}\lbrace (n-1)^m-S(m,n)+{(n-1)^m-(n-1) \over {2(n-2)}}+
{m^2+m+2 \over 4}\rbrace.$$
\par
Soit $n$ impaire. Dans ce cas $M_{c_1}$ a les m\^emes nombres de Betti modulo $2$ que 
l'hyperplan $x_{m+1} =0$ car par d\'eformation continue de $M_{c_1}$ on obtient 
l'hyperplan situ\'e \`a l'infini.
Par cons\'equant, $\sigma(M_{c_1}) = m.$
\par
D\'esignons par $\omega$ l'intersection de $\Gamma$ avec l'hyperplan $x_{m+1} =0$,
par $R$ le compl\'ement de $\omega$ dans l'hyperplan $x_{m+1} =0.$
Il est facile de voir que $P_m -M_{c_2}$ et $R$ ont les m\^emes nombres de Betti modulo $2.$
\par
En utilisant l'in\'egalit\'e $(4)$, on obtient que
$$\sigma(M_{c_2}) \leq \sigma(P_m-M_{c_1})+m =  \sigma(R)+m \leq \sigma(\omega)+2 m.$$
\par
Par cons\'equent,
$$\sigma(M) = \sigma_1(M)+\sigma_2(M) \leq {(n-1)^m \over 2}+{3 m+\sigma(\omega) \over 2}.$$
\par
Nous allons montrer plus loin que $\sigma(\omega) \leq (n-1)^{m-1}+(m-1).$
Pour $n$ impaire on a donc
$$\sigma(M) \leq {(n-1)^m \over 2}+{(n-1)^{m-1}+4 m-1 \over 2}.\eqno(8)$$
\par
On montre dans $\lbrack 2 \rbrack$ que pour $n$ impaire on a
$$\vert \sigma_1(M)-\sigma_2(M)\vert \leq {(n-1)^m \over 2} - S(m,n)+1,
\ \hbox{si}\ m \ \hbox{est impaire}$$
et
$$\vert \sigma_1(M)-\sigma_2(M)\vert \leq {(n-1)^m \over 2} - S(m,n)
+{(n-1)^{m-1} \over 2}-S(m-1,n)+1,
\ \hbox{si}\ m \ \hbox{est paire}$$
 \par
Gr\^ace \`a ces relations et \`a l'in\'egalit\'e $(8)$, nous obtenons
les estimations pour $\sigma_1(M)$ et $\sigma_2 (M)$, \'enonc\'ees dans
le th\'eor\`eme.
\par
Nous  d\'esignons par $\Gamma_c$ l'hypersurface alg\'ebrique d\'efinie dans 
l'espace de projection $P_m$ par l'\'equation
$$x^n_{m+1} F({x_1 \over x_{m+1}},...,{x_m \over x_{m+1}})-x^n_{m+1} \cdot c = 0.$$
\par
Les nombres de Betti de l'ensemble $\Gamma_c$ changent seulement quand le $c$ passe
par les valeurs critiques $c_\alpha$ du polyn\^ome $F(x_1,...,x_m).$ 
Lors de ce passage la somme de nombres de Betti de l'ensemble $\Gamma_c$ peut
soit augmenter de $2$, soit diminuer de $2$, soit rester la m\^eme.
Il est facile de le d\'emontrer en utilisant les m\^emes raisonnements que dans 
$\lbrack 5 \rbrack$, car le changement des nombres de Betti de l'ensemble $\Gamma_c$
d\'epend du changement de la structure topologique de $\Gamma_c$ au voisinage
d'un point critique. A l'ext\'erieur de ce voisinage la structure topologique de $\Gamma_c$
ne change pas.
\par
D\'esignons par $N_{+}$ le nombre  de points critiques $p_\alpha$ dont les 
 valeurs $c_\alpha$  correspondent \`a l'augmentation de la somme de nombres de Betti
de l'ensemble $\Gamma_c$, et par $N_{-}$ le nombre de points critiques qui 
correspondent \`a la diminution de cette somme. 
\par
Il est \'evident qu'on a les relations suivantes
$$N_{+}+N_{-} \leq (n-1)^m,\quad N_{+}-N_{-} = {\sigma(\Gamma_{c_2}-\sigma(\Gamma_{c_1})
\over 2}.$$
D'o\`u
$$N_{+} \leq {(n-1)^m \over 2}+{\sigma(\Gamma_{c_2})-\sigma(\Gamma_{c_1}) \over 4}.$$
Il est facile de voir que
$$\sigma(\Gamma) \leq 2 N_{+} +\sigma(\Gamma_{c_1})$$
et donc
$$\sigma(\Gamma) \leq (n-1)^m+{\sigma(\Gamma_{c_1})+\sigma(\Gamma_{c_2})}.\eqno(9)$$
\par
Maintenant nous allons \'evaluer la somme $ \sigma(\Gamma_{c_1})+\sigma(\Gamma_{c_2}).$
\par
Soit $n$ impaire. Dans ce cas les ensembles $\Gamma_{c_1}$ et $\Gamma_{c_2}$ ont les
m\^emes nombres de Betti que l'hyperplan $x_{m+1}=0.$ Donc
$$\sigma(\Gamma) \leq (n-1)^m+m. \eqno(10)$$
D'o\`u on a, en particulier,
$$\sigma(\omega) \leq (n-1)^{m-1}+(m-1).$$
Selon $\lbrack 2 \rbrack$, pour $m$ impaire on a
$$\vert \sigma_1(\Gamma)-\sigma_2(\Gamma)\vert \leq (n-1)^m-2 S(m,n)+1,\eqno(11)$$
et gr\^ace aux in\'egalit\'ees $(10)$ et $(11)$ on conclue que dans ce cas
$$\sigma_i(\Gamma) \leq (n-1)^m-S(m,n)+{m+1 \over 2}\quad (i=1,2).$$
Pour $m$ paire,  selon la loi de Poincar\'e $(\lbrack 6 \rbrack ,\hbox{pages}
\ 277-283),$
$$\sigma_1(\Gamma) = \sigma_2(\Gamma) = {\sigma(\Gamma) \over 2} \leq {(n-1)^m \over 2}+{m \over 2}.$$
\par
Pour \'evaluer $\sigma(\Gamma_{c_1})$ et $\sigma(\Gamma_{c_2})$ pour $n$ paire, nous utilisons
 l'in\'egalit\'e $(4)$ d'o\`u 
$$\sigma(P_m-M_{c_1}) \leq \sigma(M_{c_1})+m$$
et
$$\sigma(\Gamma_{c_1}) \leq \sigma(M_{c_1+\epsilon}+(P_m-M_{c_1}))+m \leq
\sigma(M_{c_1})+\sigma(P_m-M_{c_1})+m \leq 2 \sigma(M_{c_1})+2 m.$$
De la m\^eme fa\c con, on obtient 
 $$\sigma(\Gamma_{c_2}) \leq 2 \sigma (P_m-M_{c_2})+2 m.$$
\par
En utilisant ces estimations, nous pouvons \'ecrire l'in\'egalit\'e $(9)$
sous la forme
$$\sigma(\Gamma) \leq (n-1)^m+\sigma(M_{c_1})+\sigma(P_m-M_{c_2})+2 m.$$
\par
Pour \'evaluer $\sigma(M_{c_1})$ et $\sigma(P_m-M_{c_2})$, nous pouvons utiliser
l'in\'egalit\'e $(6)$, car
 $$\sigma(M_{c_1})=\sigma(Q)\ \hbox{ et }\
\sigma(P_m-M_{c_2})=\sigma(P_{m-1}-Q).$$
\par
Donc
$$\sigma(\Gamma) \leq {(n-1)^{m+1}-(n-1) \over {n-2}}+{m(m-1) \over 2}+2 m.\eqno(12)$$
\par
Si $m$ est paire, alors
$$\sigma_1(\Gamma)=\sigma_2(\Gamma)={\sigma(\Gamma) \over 2}.$$
\par
Si $m$ est impaire, alors selon $\lbrack 2 \rbrack ,$
$$\vert \sigma_1(\Gamma)-\sigma_2(\Gamma)\vert \leq (n-1)^m-2 S(m,n)+1.$$
De la derni\`ere relation et de l'in\'egalit\'e $(12)$ nous obtenons 
l'estimation de $\sigma_1(\Gamma)$ et de $\sigma_2(\Gamma)$ pour $m$ impaire.
\par
Nous avons donc d\'emontr\'e toutes les in\'egalit\'ees \'enonc\'ees dans le th\'eor\`eme.
\par
Dans le cas $m=3$ les nombres de Betti de dimension z\'ero et $2$ de la surface
 $\Gamma$ sont \'egaux entre eux et donc
$$p^0 (\Gamma)={\sigma_1(\Gamma) \over 2}.$$
Par cons\'equent, le nombre de morceaux de la surface alg\'ebrique r\'eelle 
d'ordre $n$ dans l'espace de dimension $3$ ne d\'epasse pas
$${(n-1)^3 \over 2}+{(n(n-1)(n-2) \over 12}+2,\quad \hbox{si}\ n\ \hbox{est impaire}$$
et ne d\'epasse pas
$${(n-1)^3 \over 2}+{(n(n-1)(n-2) \over 12}+{(n-1)^2 \over 4}+{n-1 \over 4}+2,
\quad \hbox{si}\ n\ \hbox{est paire.}$$
 \bigskip
\bigskip
  \centerline{{\bf R\'ef\'erences  }}
\bigskip
1. M.Morse,

 Critical points,

 Trans. Amer. Math. Soc., {\bf 27}(1925), 
345-396.
\bigskip
2. (en russe) I. G. Petrovski et O. A. Oleinik,

Sur la topologie des surfaces alg\'ebriques r\'eelles,

Izvestia de l'Acad\'emie des Sciences de l'URSS, s\'erie math.,
volume {\bf 13} (1949), 389-402.
\bigskip
3. (en russe) G. Zeifert et V. Trelfal,

Calcul variationnel,

Moscou, 1947.
\bigskip
4. L. Pontrjagine,

Zum Alexanderscen Dualit\"atssatz,

Nachr. Ges. Wiss. G\"ottingen (1927), 445-456.
\bigskip
5. (en russe) G. S. Tchogoshvili,

Sur le changement des nombres de Betti des surfaces de niveau,

Dokladi de l'Acad\'emie des Sciences de l'URSS, 

volume {\bf XXII}, no {\bf 6} (1939), 297.
\bigskip
6. (en russe) G. Zeifert et V. Trelfal,

Topologie,

Moscou-Leningrad, 1938.

\bye